[ TIME RESPONSE ] 시간 응답

안녕하세요!

오늘 드디어 저의 전공인 제어 이론에 대해 포스팅하려 합니다!

사실 전공이라고 뭐.. 잘하는건 아닙니다만... ㅋㅋㅋ 좋아하는 분야다보니 들뜨네요

제어기를 설계하기 전에 우리는 제어의 대상이 되는 시스템의 특성을 파악해야합니다.

이번 포스팅은 시스템의 시간응답 특성에 대해 소개하겠습니다.

목차는 다음과 같습니다.

1) 시스템의 극점과 영점

2) 1차 시스템

3) 2차 시스템

4) 시간영역의 사양

5) 지배적인 극점 (Dominant Pole)

내용이 긴 관계로 두번에 걸쳐 포스팅하겠습니다.

시작합니다!

1) 시스템의 극점과 영점

전달함수 를 갖는 시스템이 있다고 해봅시다. 

이 전달함수는 극점과 영점을 모두 가지고있는데요.

우선, 극점 (pole)과 영점 (zero)이 무엇인지 말씀드리죠.

극점이란, '전달함수가 무한대가 되도록 하는 변수 s 값' 입니다.

반면에 영점이란, '전달함수가 영이 되도록하는 변수 s 값' 입니다.

그렇다면, 전달함수 의 극점은 -3, 영점은 -2 이겠죠?  

(극점은 영어로 pole이라 부르고, 영점을 zero라고 부릅니다.)

이제, 극점과 영점의 특성을 알아보기 위하여 이 시스템의 단위 계단 함수 응답을 구해보겠습니다.

다음과 같이 나옵니다.

라플라스 역변환을 해서 time domain으로 표현하면,

빨간색으로 쓰여진 -3이 보이시나요? 

극점이라고 했던 녀석이 저 자리로 옮겨갔습니다! 

y(t)를 그래프로 나타내서 저 -3이 하는 역할을 볼까요?

 

전체 출력이 2/3으로 감소하는 것을 보실 수 있습니다. 

exponential 항으로인해 처음엔 1이었던 값이 2/3로 수렴하는 것을 볼 수 있죠.

만약 극점이 -3이 아니라 -30 이었다면 어땠을까요? 

더 빠르게 수렴하죠? 

이번엔 극점이 양수였을 때를 생각해보죠. -3이 아니라 3이었다면, 시스템 출력은 무한히 커지며 발산했을 것입니다.

정리를 하자면, 극점의 역할은 바로 시스템의 안정성 및 과도 응답 형태를 결정합니다. 

극점이 원점으로부터 음의 방향으로 멀어질 수록 시스템은 빠르게 감쇠하며 안정적이라 할 수 있습니다.

영점의 역할은 무엇일까요?

영점은 극점과 함께 강제 응답과 과도 응답의 크기를 결정합니다. 

여기서 잠깐, 강제 응답과 과도 응답이 무엇인지 짚고 넘어가겠습니다. 

이 응답에서, 파란색으로 표시된 부분을 강제응답( Forced Response ), 

빨간색으로 표시된 부분을 과도 응답( Transient Response )이라고 합니다. 

2) 1차 시스템

1차 시스템이란 전달함수의 분모 또는 특성방정식이 1차 방정식으로 표현되는 시스템을 말하는데요.

예를들어, 

의 전달함수 형태를 띄면 1차 시스템이라고 합니다. 

1차 시스템의 특성을 파악하기 위해 단위 계단 함수 응답을 보도록 하겠습니다.

이때, 가 될 때를 볼까요?

a가 어떤 값이든  일 때 항상 출력은 63%에 도달하는 걸 알 수 있는데요.

이 값을 시정수 또는 time constant 라고 말합니다.  

시정수란 계단 입력에 대한 응답이 최종값의 63%까지 도달하는데 걸리는 시간을 말합니다.

우리가 제어해야하는 시스템이 전기시스템 또는 기계, 또는 열 일 수도 있고 모두가 복합적인 시스템이라고 한다면, 

하나 알고 가는 것이 좋습니다.  

열적 시정수 >> 기계적 시정수 >> 전기적 시정수 

다시 본래 내용으로 돌아와서 이번엔 상승시간과 정착시간에 대해 보도록하죠.

상승 시간 (rise time)이란 응답이 최종값의 10%에서 90%까지 상승하는데 걸리는 시간을 말합니다.

즉, 상승시간 은 

정착 시간 (settling time)을 볼까요? 

정착시간이란 응답이 최종값의 2%이내에 도달하여 지속되는데 걸리는 시간을 말합니다.

정착시간, 상승시간, 시정수 모두 극점으로부터 정해진다는 것을 볼 수 있었습니다.

이쯤되면, 제어 시스템을 꾸밀 때 극점 pole의 중요성이 느껴지나요? 

이제 2차 시스템에 대해서 보도록 하겠습니다.

3) 2차 시스템

2차 시스템이란 시스템의 특성방정식이 2차 방정식으로 표현되는 것을 말합니다.

2차 시스템에서 비로소 복소수 극점을 논하게 되는데요.

1차 시스템에서는 실수 극점만을 다뤄왔습니다만, 실제 시스템에선 진동이라는 녀석이 항상 존재하죠.

그 진동은 극점의 허수 성분으로인해 생겨나게 됩니다. 

 ( 자세한 사항은 Laplace Transform 포스팅을 보세요~^^ )

이제부터 극점을 다음과 같이 가정하고 출발하도록 하죠.

극점의 실수부를 로 표현했고, 허수부를 라고 표현했습니다.

위 극점을 해로 갖는 방정식이 바로 특성방정식이겠죠? 

특성방정식은 다음과 같이 쓸 수 있겠네요.

다소 더 복잡해지겠지만, 해석을 쉽게하기위해 파라미터 몇개를 더 추가해서 다음과 같이 써보겠습니다.

여기서 는 감쇠비 damping ratio 라고 불리는 녀석이고, 

는 고유주파수 natural frequency라고 불리는 녀석입니다. 

꼭 기억해두세요!!

이제 위와 같은 특성방정식을 갖고 있는 시스템이

에 따라 어떤 응답을 보이는지 보겠습니다. MATLAB을 이용해 볼게요

위와 같이 로 했을때 단위 계단 응답은 다음과 같이 나옵니다. 

눈치 채셨을 수도 있겠지만, 인 경우 특성방정식은 완전제곱식 형태를 띄게 되죠.  

(의 값은 관계없습니다.)

보시는 것처럼 해가 실수부만 존재하게 됩니다. 즉, 극점이 복소수가 아니라 실수인것이죠. 

위와 같은 경우 진동을 발생시키는 성분인 허수가 없으므로 가장 확실한 감쇠를 보입니다.

위와같이 일 때를 Critically Damped Condition이라고 합니다.

이번엔 의 경우를 볼까요? 

우리는 근의 공식에서 배웠던 판별식을 통해 인 경우, 해의 형태를 짐작할 수 있습니다.

두개의 복소근을 갖는 것을 알 수 있는데요. 응답을 확인해볼까요?  ()

오버슛이 생긴 것이 보이시나요? 

바로 진동이 추가되었죠. 이같은 경우를 감쇠가 잘 안된다고 말합니다.

통상 Underdamped Condition이라고 말합니다.

인 경우는 어떨까요? 

바로 그래프로 볼까요? 

정착시간이 크게 늘어난것 보이시나요?

위의 경우 감쇠가 너무 심하게 된 것인데요.

이 경우를 Overdamped Condition이라고합니다. 

그렇다면 인 경우는 어떨까요?

진동만 하는것을 볼 수 있습니다.

이 경우를 Undamped Condition이라고 합니다.

정리를 하자면 다음과 같습니다. 

a)  :  Critically Damped Condition

b)  :  Under Damped Condition

c)  :  Over Damped Condition

d)  :  Undamped Condition

시간영역 1차 포스팅은 여기서 마치도록하겠습니다~~!