[ROOT LOCUS] 근궤적 기법 - 2

안녕하세요 ^^

저번 포스팅에 이어서 근궤적 기법에 대한 내용을 마무리하려 합니다.

이번 시간엔 자동제어 중간고사 혹은 기말고사마다 출제되는 근궤적 그리기에 대한 예제를 다루고, 

더 나아가 MATLAB을 통한 근궤적 기법을 다루겠습니다.

목차는 이렇습니다.

1) Root locus example (근궤적 예제)

2) MATLAB을 통한 접근

시작하겠습니다!

1) Root locus example (근궤적 예제)

위의 그림과 같은 시스템에서 게인 K의 변화에 따른 근궤적을 그려보도록 하겠습니다.

우선 입력 R에서 출력 Y로의 전달함수 H(s)를 구해보겠습니다.

이해가 안가시는 분은 블록선도 간략화 포스팅을 보고 오시길 바랍니다.

위의 전달함수를 구함으로서 우리는 시스템의 Characteristic Equation (이하 C.E)을 알 수 있습니다. 바로 분모에 해당하는 부분이 C.E인데요.

따라서 1+KL(s) = 0 의 꼴임을 알 수 있습니다.

L(s)에 대하여 다시 쓰면, 

a(s)는 L(s)의 분모, b(s)는 분자입니다. 

이제 총 6가지의 규칙에 따라 근궤적을 그려보겠습니다.

① 극점과 영점 찾기

 극점 : 0, -5, 

영점 : -10

근궤적은 극점에서 출발해서 영점에서 끝나거나 점근선을 따라 연장되어 나간다는 사실을 인지해줍니다.

다음 그림과 같이 복소평면상에 극점과 영점을 그려줍니다.

② 실수축 상의 근궤적 찾기

실수축상의 한 점에서 오른쪽편에 극점과 영점의 개수가 홀수라면, 그 실수축상의 점은 근궤적에 포함됩니다.

③ 점근선 찾기

점근선 출발 위치 :

점근선 각도 :

따라서 그림상에 나타내면 다음과 같습니다.

④ 출발각 구하기

극점 -5와 0에서의 출발각은 과정 2를 통해 너무나도 자명하기 때문에 따로 구하지 않겠습니다.

에 대한 출발각을 구하겠습니다.

i) s = -2+i  : 

ii) s = -2-i 의 경우 실수축 대칭이므로 다음과 같음을 알 수 있죠

⑤ 허수축을 지나는 조건 (Routh stability criterion)

C.E 는 다음과 같이 정리됩니다.

Routh test를 진행하면 

(손으로 하는게 편해서... 이렇게 했습니다 ㅎㅎ)

아무튼 위의 풀이를 통해 K 값에 따라 근궤적이 우반평면으로 넘어가는 경우가 생김을 알 수 있고,

또한 허수축을 통과할때의 극점 값을 알 수 있습니다. 

방정식의 해를 구하면 다음과 같습니다. 

⑥ 분기점 찾기

분기점의 경우 다음 방정식을 풀면 되는데요. 이 내용은 첫번째 포스팅에서 결여되어 있습니다.

위의 결과로부터 실수축 상에 총 4개의 분기점을 갖는다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 모든 결론들을 고려해 근궤적을 완성하면 다음과 같습니다.

모두 완성되었네요~~~~^^

2) MATLAB을 통한 접근

이번엔 같은 문제를 MATLAB을 통해 그려보도록하겠습니다.

코드는 다음과 같습니다.

결과는 다음과 같습니다.

손으로 백날 그려봤자 이렇게 맷랩이가 뚝딱 그려줍니다 ㅎㅎ

rlocfind라는 명령어가 보이실텐데요, 그 친구를 써주면 지점을 찍을수 있도록해주는 선이 나올거에요

그 도구를 통해 특정 지점의 pole값을 알 수 있습니다.

Root locus 기법은 p게인 값을 정하는 것에서 그 유용함이 증명된 도구입니다.

하지만, 한계점 또한 p게인 값만 정할 수 있다는 것입니다.

다음 포스팅부터는 주파수응답에 대해 다루며 제어기 설계를 위한 다른 방법들을 포스팅하도록 하겠습니다.

이상 포스팅을 마치도록하겠습니다.