[BODE PLOT] Frequency response 해석2 - 보드선도2

보드선도 그리기 두번째 포스팅입니다.

저번 포스팅에서 간략한 보드선도를 그려봤다면, 이번엔 다소 복잡한 형태의 보드 선도를 그리고 시스템을 파악하는 방법에 대해서 포스팅 하겠습니다.

우선 보드 선도 그리기 방법에 대한 요령을 써봤는데요.

많은 도움이 될겁니다.

1. 전달함수 G(s)를 G(jw)꼴로 바꿔준다.

2. 상수항을 모두 1로 만들어준다.

3. 크기 그래프는 또는 부류의 항이 있을시, 

   i)의 경우 : 분모에 위치하고 있으므로 -20dB/dec의 기울기를 갖고, w=1일 때 크기 20logK를 갖도록 그래프를 

                       그린다.  또는 w = K일 때, dB = 0을 지나도록 그래프를 그린다.

  ii)의 경우 : 분자에 위치하고 있으므로 +20dB/dec의 기울기를 갖고 w=1일 때 크기 20logK를 갖도록 그래프를

                       그린다.

중요)  또는 부류의 항이 있을시,

      i)의 경우 : 분모에 위치하고 있으므로 n x -20dB/dec의 기울기를 갖고, w=1일 때 크기 20logK를 갖도록 

                             그래프를 그린다. 또는 w = K일 때, dB = 0을 지나도록 그래프를 그린다.

      ii)의 경우 : 분자에 위치하고 있으므로 n x 20dB/dec의 기울기를 갖고 w=1일 때 크기 20logK를 갖도록 

                             그래프를 그린다.

4. 3의 행위를 마친뒤 다음 절점 주파수에서 기울기를 변화시켜준다.

  이때, 절점주파수가 분자항에 위치한다면, 기울기를 +20dB/dec,

  분모항에 위치한다면, 기울기를 -20dB/dec 해줍니다.

  3에서 말씀드린것 처럼, (jw+a)의 n제곱 꼴이라면, 분자항의 경우 n x 20dB/dec,

  분모항의 경우 n x -20dB/dec 만큼 변경시켜 줍니다. 

5. 3~4번은 Magnitude에 대한 보드선도 설명, 5~7번은 Phase 보드 선도에 대한 설명입니다.

   위상 곡선의 저주팍 영역 점근선을 그린다.

    i)의 경우 : 분모에 위치하고 있으므로 -90의 위상을 갖는다.

  ii)의 경우 : 분자에 위치하고 있으므로 90의 기울기를 갖는다.

중요)  또는 부류의 항이 있을시,

      i)의 경우 : 분모에 위치하고 있으므로 n x (-90)의 위상을 갖는다.

      ii)의 경우 : 분자에 위치하고 있으므로 n x 90의 위상을 갖는다.

6. 주파수가 증가되는 순서로 각 절점 주파수에서 위상을 n x(+90) 또는 n x(-90) 해준다. 

   5번과 마찬가지로 분모에 절점 주파수가 있는경우 n x(-90)

   분자에 절점 주파수가 있는 경우 n x(+90)

   n은 차수를 말합니다.

7. 5~6번을 통해 완성된 위상 점근선위에 곡선을 완성시킨다.

이 7가지만 기억하면 왠만한 보드선도는 그릴 수 있습니다만, 

예외가 되는 경우가 한가지 있습니다.

바로 전달함수의 분자나 분모가 복소근을 갖는 경우인데요. 

예를 들어서 설명하도록 하겠습니다.

다음과 같은 전달함수를 갖는 시스템이 있다고 해보죠

위에서 나열한 대로 진행해보도록 하겠습니다.

1. 전달함수 G(s)를 G(jw)꼴로 바꿔준다.

2. 상수항을 모두 1로 만들어준다.

3. 

복소 근을 갖는 전달함수더라도 3번까지는 문제없이 적용 가능합니다.

단, 4번에서 다소 다른 테크닉이 필요로 되어집니다.

절점 주파수에서 꺾어 주어야 하는데요.

과연 절점 주파수를 무엇으로 봐야할까요? 

바로 가 절점 수파수가 됩니다.

최고차항의 역할이 dominant 하기 때문인데요. 2차항이기 때문에 기울기의 변화는 40dB/dec 만큼 변하게 됩니다.

분자에 있기 때문에 -40dB/dec 만큼 변하겠죠?

하지만, 여기서 한가지 더 눈여겨 보아야할 것이 있습니다.

최고차항이 지배적이라고 하더라도, 1차항의 영향이 완전히 없진않기 때문에 처리해줘야할 것이 있습니다.

보통 2차식으로 이루어진 시스템은 감쇠 성분을 갖고 있다는 걸 기억하실 겁니다.

그 감쇠라는 녀석을 처리해 주어야하죠.

우선 어떻게 처리해 주었는지 볼까요?

절점 부근에서의 크기는 공진주파수로 취급되면서, 

의 크기를 갖게 됩니다.

즉, 제타를 구해주고 를 구해준 후 그래프에 나타내주면 끝.

5. 위상의 경우는 별 차이 없습니다.

 저주파일때 -90의 위상을 갖다가 

절점 주파수 2를 만났을때 -180만큼 더해지죠.

따라서 다음과 같이 그려집니다.

자 이제 보드선도를 그리는 것은 모두 설명이 마무리됐습니다.

2. 시스템 음미해보기 

보드선도를 왜그릴까요?

시스템을 직관적으로 이해하기 위함인데요.

전달함수의 크기그래프가 나타내는 것은 응답의 크기입니다.

즉, 크기가 1dB보다 작아진다는 것은 응답을 안한다고 생각하시면 됩니다.

예를들어 10Hz주파수를 기점으로 1dB보다 작아진다면, 10Hz 이상의 입력에 대해서는 응답하지 않는 시스템입니다.

 

위상 그래프의 경우 입력에 대한 출력단의 위상차가 얼마나 될것인가를 알 수 있는 그래프죠.

보통의 경우 -180의 위상차를 갖는다면, 불안정한 상태라고 말합니다. 

최대한 -180보다 큰 위상차를 갖도록 하는 것이 바람직 합니다. 

시스템을 파악하는 방법은 이것이 답니다.

별거 없어보여도 저 개념들로부터 Low pass filter, high pass filter, Bandwidth filter 등의 원리를 생각할 수 있습니다.

3. MATLAB 활용

이 전달함수의 보드선도를 MATLAB을 이용하여 그리는 방법은 다음과 같습니다.

그래프로 나태내고 싶은 영역을 logspace로 지정한후

전달함수를 구성해준 다음, bode 명령을 통해 실행하면, 

다음과 같은 그래프가 나옵니다.

다소 빈약하게 설명한 감이 있지만, 

다음에 소개될 내용들에서 더 자세하게 다룰 것이기 때문에 꾸준히 봐주셨으면 좋겠습니다.

다음 포스팅은 Nyquist plot과 안정도 여유에 대한 내용으로 찾아뵙도록 하겠습니다.