[ROOT LOCUS] 근궤적 기법 - 1

안녕하세요 

오늘은 근궤적 기법에 대해서 포스팅하려고 합니다.

근궤적은 시스템 매개 변수 변화에 따른 폐루프 극점을 도식적으로 표현한 것입니다.

시간 응답 포스팅에서도 언급했듯이 제어공학의 목적은 알맞은 극점을 선정하고 시스템을 설계하는 것이죠.

바로 그 극점을 선정할 때, 시스템의 안정도와 과도 응답 관점에서 선정할 수 있도록 도와주는 것이 바로

Root Locus, 근궤적 기법입니다.

본격적으로 포스팅을 시작하겠습니다!!

1) 근궤적의 정의

근궤적에 대한 설명을 시작할 때, 가장 먼저 언급해야하는 것은 역시

'근궤적이라는 개념은 어디서 출발하는가?' 이지 않을까 싶습니다.

다음과 같은 피드백 형태의 제어시스템이 있다고 해보죠 

위 시스템은 다음과 같은 형태로 간략화가 가능합니다.

(이해가 안되신다면, 블록선도 포스팅을 보고오세요! )

자, 전달함수가 한눈에 들어오시죠?

극점이라는 것은 전달함수의 분모를 0으로 만드는 s 값을 말합니다.

위와 같은 경우 

을 만족하는 s값이 되겠죠.

그렇다면 여기서 미지수는 총 두개가 됩니다. K와 s 라는 미지수로 이루어진 하나의 방정식이죠

근궤적의 목적은 제일 처음에도 말씀드렸듯이, 매개 변수의 변화에 따른 극점의 변화양상을 도식적으로 그리는 것입니다

위의 제어 시스템에서의 매개변수라함은 게인값 K가 되겠죠.

이제 다시 방정식에 집중해보겠습니다.

라는 방정식은 s-domain에서 나타내지는 방정식입니다. 

즉, 실수축과 허수축으로 이루어진 평면상에 그려집니다.

s-domain에서 -1이 의미하는 것은 다음과 같습니다. 

원점으로부터 1만큼 떨어져 있고, 양의 실수축으로부터 위상각이 180`인 점이죠.

식으로 다시 나타내자면, 다음과 같습니다.

이 식을 식과 결합하면,

으로 쓸 수 있겠습니다. 

즉, 설계자가 임의로 K를 바꾸는 동안 위의 관계식을 통해 s의 위치가 결정되게 됩니다.

근궤적법은 위의 관계식으로부터 출발합니다.

polar coordinate 방식으로 써진 위의 식을 알기쉽게 설명하기 위해 크기와 위상을 각각 따로 나누어서 설명하겠습니다.

우선 크기를 먼저 보겠습니다.

K 값은 G(s)의 역수임을 알 수 있죠.

다음으로 위상을 보기위해, 시스템의 플랜트인 G(s)를 다음과 같다고 하죠.

그리고 s가 1+j 일때 근궤적의 관계를 만족하는지 확인해보겠습니다.

결과 값이 180'가 아니죠? 따라서 1+j 라는 점은 근궤적 관계를 만족하지 않으므로, 근궤적 위에 있는 점이 아닙니다.

이 예제를 통해서 보았듯이, 근궤적 위에 있는 점이라면 위 연산결과가 180`가 되어야 함을 알 수 있습니다.

지금까지 근궤적의 정의를 보았습니다. 

이제는 근궤적을 개략적으로 그리는 규칙과 방법에 대해서 설명하겠습니다.

2) 근궤적 그리기

근궤적을 그리는 방법에 대해 설명하기 이전에

한가지 짚고 넘어가도록하겠습니다. 

위에서 예를 들었던 제어 시스템의 전달함수 를 폐루프 전달함수라 부를겁니다. 사실이기도 하구요.

를 개루프 전달함수라고 부를겁니다. 

근궤적을 그리는 규칙은 총 5가지가 있습니다. 

이 5가지 규칙을 따라 하나하나 그려나간다면 근궤적이 완성되어있죠.

규칙1. 궤적 중 n개의 가지는 개루프 전달함수의 극점에서 출발하고, m개의 가지는 개루프 전달함수의 영점에서 끝난다.

해설1. 근궤적은 을 만족하는 s값들을 도식화 한것이라고 위에서 보인바 있습니다.

크기만 보자면, 이죠. 

그리고 K를 0부터 까지 변화시켜본다고 해보겠습니다.

K가 0이라면 G(s)는 가 되어야하고, 그러기 위해서는 G(s)의 분모가 0이 되어야합니다. 

즉 s는 G(s)의 분모를 0으로 만드는 값에 찍혀있겠죠. 바로 G(s)의 극점이 되겠습니다.

그 후에 K가 점점점 커져서 가 되었다고 해보죠. 

그러기 위해서는 G(s)는 0이 되어야하고, 그러기 위해서는 G(s)의 분자가 0이 되어야합니다.

s는 G(s)의 분자를 0으로 만드는 값에 찍여있겠죠. 바로 G(s)의 영점이 되겠습니다.

위 규칙 1에 쓰여있는 n과 m은 각각 개루프 전달함수의 극점 개수와 영점 개수를 말합니다. 

규칙 2. 근궤적은 실수축에 대하여 대칭이다.

해설 2. 전달함수의 극점들은 공액복소수가 아닌 복소수는 존재할 수 없습니다. 물리적으로 불가능한 일입니다. 

근궤적이 그려지는 경우의 수는 두가지로 좁혀집니다. 

실수축 상에 그려지거나, 공액복소수로 인해 실수축에 대칭하여 그려지거나.

그러므로 근궤적은 실수축에 대하여 대칭하게 됩니다.

규칙 3. 실수축 상에서 그 점 오른쪽에 있는 개루프 시스템의 유한 극점과 유한 영점을 합한 수가 홀수면 그 점은 근궤적 상에 있다.

해설 3. 다음 그림을 보자.

점 p1이 실수축에 놓인 시험점이라고 했을때, 

(모든 영점과 이루는 각도 - 모든 극점과 이루는 각도) 에 대한 연산을 해보면, 180`가 나오는 것을 볼 수 있다.

해설 2에서 언급한대로 전달함수의 극점과 영점은 공액 복소수 형태이거나 실수 형태이다. 

따라서 시험점의 오른쪽에 극점과 영점의 개수가 홀수가 된다는 말은 

적어도 한쌍의 공액복소수와 적어도 하나의 실수가 있는 경우로 한정된다.

즉, 모두 위 그림과 같은 경우로 한정된다는 것이다. 그러므로 연산결과는 180`라 예상할 수 있고,

근궤적 상에 있다고 말할 수 있다.

규칙 4. 영점에서의 출발각과 극점에서의 도착각을 구하기 위해서는 해당 영점 또는 극점을 시험점으로 놓는다.

해설 4. 근궤적의 출발각 또는 도착각을 알기 위해서는 해당 점에 아주 가까운 점(근궤적 상의 점)을 

시험점으로 택했다고 생각하자.

다음 그림을 보며 이해해보자.

가장 왼쪽의 영점의 도착각을 알기 위해 P1의 위치를 매우 근접하게 잡았다고 가정하자.

이 때 멀리 떨어져있는 영점 및 극점과 이루는 위상각도를 

이라고 하고, 근접한 영점과 이루는 각도를 라고 했을 때, 다음 관계를 만족해야한다.

는 알고 있으므로 위 방정식을 통해 를 찾아내면 된다.

규칙 5. 무한대로의 동작 특성은 다음과 같은 규칙으로 만들어진 점근선을 따라 이동한다.

점근선이 실수축과 만나는 점을 , 실수축과 이루는 각도를 라고 했을때, 각각의 유도식은 다음과 같다.

이렇게 총 5가지 규칙들을 구우우우지 구우우우우우우지 썼는데요

사실 완벽한 근궤적을 그리기 위해서는 추가되어야할 요소들이 있습니다.

이탈점과 인입점, 허수축과 만나는 점 등... 하지만...

다 필요 없습니다. MATLAB으로 rlocus 때려주면 다그려줍니다. 

포스팅을 하면서도 참 무의미 하다는 것을 느끼며.... 빨리 끝내고 싶다는 생각을 했는데요.

하지만, 알고 쓰는것과 모르고 쓰는것은 그 활용 능력에 차이를 가져올거라 생각합니다. 믿고싶을 뿐인 거일지도....ㅎㅎ

다음 시간은 MATLAB으로 Root locus를 그리는 것과 활용 방법에 대해서 포스팅 하겠습니다.

다음 시간은 Root locus 그리는 예제 세문제 정도 다루고, MATLAB을 이용하여 그리는 방법에 대해 포스팅 하겠습니다.

읽어주셔서 감사합니다~

좋은 하루 되세용