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SYSTEM & CONTROL/CONTROL

[BODE PLOT] Frequency response 해석1 - 보드선도1

안녕하세요 

오늘은 Frequency response에 대한 해석에 대해 다뤄보겠습니다.

지금까지는 특정 입력 (step input, ramp input... etc)에 대한 시스템의 응답을 소개했습니다. 

이번 포스팅은 주파수 입력에 대한 시스템의 응답을 소개하고자 합니다.


우선, 주파수 응답에 대한 해석을 하는 이유가 뭘까요?

바로, 시스템의 응답성 및 안정성을 평가하기에 매우 용이한 방법들이 많기 때문입니다.

그 방법중 하나가 Bode plot 입니다. 

보드선도를 그림으로서 시스템의 응답성과 안정성을 판단할 수 있습니다. 


그럼 Bode plot (보드선도) 그리는 방법 및 해석, 그리고 MATLAB에서의 사용에 대해 포스팅 하겠습니다.

1차 포스팅과 2차 포스팅으로 나눠서 소개해 드리도록 할텐데요 

다음과 같은 내용으로 구성하도록 하겠습니다.



목차

1) Bode plot 그리기 

2) 시스템 음미해버리기

3) MATLAB 활용



1) Bode plot 그리기

보드선도를 그리는 방법은 매우 간단합니다.

직접 그려보기 전에 dB(데시벨) 단위에 대해서 소개해드려야 할 것 같네요.

dB이란 보드선도를 그릴때 응답의 크기를 나타내는 단위로 쓰이는데요, 그 단위는 다음과 같습니다.

(A : 입력 , B : 출력)



첫번째 예로 

위와 같은 전달함수의 보드선도를 보도록하겠습니다.

우선 복소표현으로 사용된 s를 주파수 영역으로 한정지어서 보기위해 s = jw로 변경하도록 하죠.

ⓐ크기(Magnitude 보드선도)

우선 크기에 대해서 생각을 해볼까요?

G(jw)의 크기를 구하면 다음과 같습니다.

이제 다음과 같이 두가지 경우를 생각해보시면, 그래프가 그려지실겁니다.

i) w = 1

ii) w = inf


ⓑ위상 (Phase 보드선도)

다음으로 위상에 대해 생각해보겠습니다.

G(jw)의 위상을 구해보면 다음과 같습니다.

따라서 G(jw)의 보드선도는 다음과 같습니다.

크기는 계속 감소하고, 위상은 -90으로 일정하죠?

아주 간단하게 크기와 위상에 대해 소개해드리고자 쉬운 예를 들었구요.


 이제 좀 제대로된 예시로 가보겠습니다.

다음과 같은 전달함수가 있다고 해보죠.

주파수 영역만을 보기위해 다음과 같이 바꾸겠습니다.

앞으로의 설명을 위해 상수항을 모두 1로 만드는 작업을 먼저 했습니다.

이 행위는 전달함수의 절점주파수를 명확하게 하기 위함인데요,

 절점 주파수란, 크기 보드선도의 기울기가 변화되는 주파수를 말합니다.

좀더 자세하게 말씀드리자면, 실수부와 허수부가 같아지는 주파수를 말합니다. 

위의 경우 절점 주파수는 1과 10입니다.

이제부터는 저 분수꼴의 전달함수에 대해서 주파수를 키워가며 하나씩 생각해보도록 할 겁니다.




ⓐ크기 보드선도

먼저 주파수가 매우 작을때를 생각해볼게요. 매우 작은 주파수에서는 의 항이 지배적이라고 보시면 됩니다. 

따라서 을 먼저 살펴보겠습니다.

이 친구는 위에서 살펴봤던 녀석과 아주 유사합니다. 따라서 w=1/10일때와 w=inf 일때를 따져주면 되는데요

크기는 다음과 같겠네요

항상 감소하면서, w=1/10일 때 dB = 0인 선을 지나치죠

그림에 쓰여있는 -20dB/dec이란 말은 기울기를 말합니다. 

한 decade(10rad/s)동안 -20dB이 감소한다는 말이죠.


다음으로 분자에 해당하는 녀석을 추가하여

이 친구를 생각해보도록 하겠습니다.

이 친구를 그리는 일 또한 쉽습니다. 위에서 생각하고 그렸던 그래프에서 w=1인 부분의 변화만 생각해주면 됩니다.

w=1을 고려해주는 이유는, 이 주파수를 기점으로 허수가 실수보다 커지는 지점이기 때문인데요. 

그림은 다음과 같이 그려집니다.

초록색으로 그려진 선이 실제 보드 선도이고, 검은색 선은 그 점근선입니다. 

주파수가 1일 때를 기점으로 기울기가 20dB/dec 만큼 증가하며 수평선을 그리게 되는 것을 확인할 수 있습니다.

이와같이 분자항은 그 해당 주파수에서 기울기를 증가시키는 역할을 합니다.


다음으로 완성형인

이 친구를 보도록하겠습니다.

이 녀석도 마찬가지로 위의 그림에 이어서 w=10인 부분을 고려해주면 됩니다.

대신 분자항이 아니라 분모항이므로 기울기가 20dB/dec만큼 감소하죠.

참 쉽죠?


ⓑ 위상 보드선도

위상도 마찬가지로 크기 그래프와 같이 

w=1, 10일때를 기점으로 바뀌는데요


주파수 w가 매우 작을때, 즉 이 지배적일 때는 위상이 -90이었다가 1과 10을 기점으로 +90, -90 위상이 변화하게 됩니다.

그 점근선과 위상 보드선도는 다음과 같이 그려집니다.


이상으로 크기 및 위상에 대한 그래프를 모두 그려봤는데요.


이번 포스팅에서는 분자와 분모 모두 1차항으로 인수분해가 되는 경우에만 한해서 보았습니다.

아마도.. 위의 설명으론 보드플롯을 제대로 그리기 어려울텐데요...? 

다음 포스팅에서는 좀더 복잡한 전달함수의 보드선도를 예제로 그려보고 보드선도 그리기 요령을 정리한 후

그 결과를 통한 시스템 파악, MATLAB을 이용하여 보드선도를 그리는 것에 대해 소개하도록 하겠습니다.






P.S. - 보드선도 그리기 포스팅은 한 포스팅에 다 할 수 있을거라고 예상했는데 

생각보다 설명해야하는 것들이 많네요

항상 더 자세하고 이해하기 쉽게 쓰려고 노력하고 있답니다... 많은 응원 부탁드려요