[KINEMATICS] 운동학 - 2 (일반적인 운동의 속도와 가속도 / 슬라이딩이 포함된 운동)

운동학 포스팅 이어서하도록 하겠습니다.

3) 일반적인 운동의 속도와 가속도

앞서 한 포스팅에선, 회전운동과 병진운동에 대해 분리된 해석을 기술했습니다.

이번에는 두 운동이 동시에 일어나는 물체를 해석해보려합니다.

우선, 속도에 대한 해석을 보겠습니다.

(1) 일반적인 운동에서의 속도

병진운동과 회전운동이 동시에 일어나는 물체를 해석하기 위해선, Reference Frame (관측자 좌표계)의 도입이 필요합니다.

날아가고 있는 헬리콥터가 있다고 해봅시다.

우리는 헬리콥터의 프로펠러 맨 끝점의 속도를 알고싶다고 해보죠. 그림을 볼까요?

Reference Frame (관측자 좌표계)가 바로 {R}로 표시된 좌표계입니다. 이때 프로펠러 끝점의 위치를 , 

헬리콥터 무게중심의 속도를 라고하죠. 

프로펠러 끝점의 위치 는 다음과 같이 표현이 가능합니다.

는 헬러콥터 무게중심으로부터 프로펠러 끝점의 상대적인 위치를 말합니다.

그렇다면, 프로펠러 끝점의 속도 

는 를 시간에 대해서 미분해주면 되겠죠?

여기서 는 단순히 로 표현될 수 있다는걸 직관적으로 알 수 있습니다.

그렇다면,  이제 를 보시죠. 

가 로 표현이 될 것이라는 걸 알겠지만, 수식적으로 어떻게 표현이 가능할까요?

다음 그림을 볼까요?

는 회전벡터를 말하고 있습니다. 

앞선 포스팅에서 말했듯이, 회전 축으로 거리만큼 떨어진 미소입자의 속도는 입니다.

헬리콥터의 경우엔 다음과 같이 나타낼 수 있겠죠?  (위 그림을 함께 보세요)

의 크기를 나타내보았는데요. 어디서 많이 본 꼴 아닌가요? 

(hint. 가위곱.... Cross product.... 벡터곱.... )  

벡터곱의 형태로 쓰일 수 있다는걸 알 수 있죠? 

따라서, 는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서, 가 될 수 없는 이유는 오른손법칙으로 벡터를 정의했기 때문입니다.

그렇다면, 프로펠러의 속도는 다음과 같이 나타낼 수 있겠군요.

(2) 일반적인 운동에서의 가속도

이번엔 가속도에 대해서 구해볼겁니다.

선속도 를 미분하면 단순히 로 쓸 수 있죠.

를 좀 들여다 볼까요?

따라서, 일반적인 운동에서의 가속도는 다음과 같이 나타낼 수 있겠군요

최종적으로 정리를 하자면 다음과 같습니다.

위 그림과 같이 점 A와 B가 정의되어 있을 때, 점 A의 속도 와 가속도 는 다음과 같습니다.

4) 슬라이딩이 포함된 운동

슬라이딩...? 슬라이딩이 포함된 운동은 뭐지? 하시는 분들이 계실텐데요. 그림을 볼까요?

슬라이딩이란 점 A가 점 B로부터 이동하는 경우를 말합니다. 다시말해 가 시간에 따라 변하는 것이죠.

prismatic joint를 가지고 있는 manipulator를 해석할 때 슬라이딩을 포함시켜 해석합니다.

이런 경우엔, 에 대한 정의가 다르게 이루어집니다.

우선 를 다시한번 쓰자면, 

는 를 미분한 것이므로, 

이제 밑줄 친 부분을 보시면, 단순히 각각의 x, y, z 성분으로의 속도가 표현된 것이라고 볼 수 있습니다.

따라서, 밑줄 친 부분을 점 A가 점 B로부터 이동하는 상대적인 속도  이라고 표현하겠습니다.

그렇다면, 분홍색으로 포인트가 되어있는 텀들은 어떻게 해석해야 할까요?

물체가 점 B를 축으로 의 각속도로 회전 하고 있다고 생각해봅시다.

그렇다면, 점 B를 origin으로 가지고 있는 frame 또한 회전하겠지요?

따라서, 

가 성립합니다.

그러므로, 우리는 속도 를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이제 가속도 부분을 보겠습니다. 

가속도 의 경우는 속도 를 시간에 대해 미분한 것이죠.

먼저 부분부터 보겠습니다.

따라서 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

그 다음 부분인 는 쉽게 로 나타낼 수 있죠.

마지막으로,  는 다음과 같이 나타내게 됩니다.

모든 텀들을 종합한다면, 가속도는 다음과 같이 정리됩니다.

많이 헷갈리고, 또 외우기도 어려울 텐데요? 

그렇기 때문에 유도 과정을 기억해 놓는 것이 더 도움이 됩니다.

저의 경우엔, 유도 과정 조차도 자주 까먹어서 책을 다시 찾아보곤 합니다...ㅎㅎㅎ

지금까지 포스팅했던 운동학 내용은 로보틱스에서도 이어서 나오게 되는데요.

지금 이 내용을 알고 보셔야지 3차원 상에서 일반적으로 접근하는 로보틱스 내용을 쉽게 이해할 수 있습니다.

참고로, 위와 같은 운동학 해석방법을 뉴턴-오일러 방식이라고 합니다.

이상 포스팅을 마치도록 하겠습니다~!!