[KINEMATICS] 운동학 - 1 (운동학과 동역학 / 운동의 종류)

안녕하세요~ 크리스마스는 잘 보내셨는지요?

오늘은 Mechanics 목차에 첫 포스팅을 하려고 합니다

포스팅에 대한 고민을 좀 많이 했습니다. 

Mechanics에 대한 내용은 차고 넘치지만, 그렇기 때문에 더 고민이 됐네요..ㅎㅎㅎ

결국, Robotics 및 제어공학, 시스템 메커니즘 해석 등에 기초라 말할 수 있는 운동학에 대해서 포스팅을 하기로 결정했습니다.

목차는 다음과 같습니다.

1) 운동학과 동역학 (Kinematics & Dynamics)

2) 운동의 종류 

3) 일반적인 운동의 속도와 가속도

4) 슬라이딩이 포함된 운동

내용이 긴 관계로 두번에 걸쳐 포스팅 하도록 하겠습니다~~!

자, 그럼 시작하겠습니다!!

1) 운동학과 동역학 (Kinematics & Dynamics)

로봇공학을 접해보신 분이라면 inverse kinematics, forward kinematics 라는 말을 자주 접하셨을 겁니다. 

또한 Dynamics라는 말도 자주 접하셨겠죠.

Kinematics 와 Dynamics. 이 두 분야에 대한 개념과 느낌을 정확하게 체득하고자 목차에 이 내용을 넣었는데요.

우선, 운동학이란 무엇인가? 

운동학이란, '시스템이 어떠한 방식으로 운동을 하는가' 를 다루는 학문입니다. 

운동의 원인에 대해서는 고려하지 않고, 오직 운동의 양상만을 다루죠.

물체의 이동, 이동에 따른 궤적, 이동에 따른 속도, 가속도 등을 기하학적으로 나타내는 것에 포커스가 맞춰져 있습니다.

예를들어, 2자유도 Manipulator의 운동학은 다음과 같습니다.

속도의 경우엔 를 시간에 대하여 미분해주면 되죠.

보시다시피 힘에 대한 고려는 없습니다.

그렇다면, 동역학이라는 것은 무엇을 말하는 것일까요?

힘이 물체의 운동에 미치는 영향을 다루는 것입니다. 

힘이 가장 중요한 역할을 한다고 보시면 되죠.

스프링을 예로들어 볼까요?

다음과 같이 스프링과 m1의 질량을 갖고 있는 질량체에 외력 F가 가해졌다고 생각해봅시다.

힘으로인해 질량체 m1의 위치 변위를 라고 한다면, 

작용한 외력의 반대방향으로 가속도 가 발생하고, 또한 만큼 스프링이 줄어들었으므로, 

스프링 힘 가 발생하게 되죠. 따라서, 

 

로 쓸 수 있습니다.

위 식을 스프링 시스템의 Dynamics라고 부를 수 있습니다.

이제 운동학과 동역학의 차이를 좀 아시겠지요? 

힘을 고려하지 않고 시스템의 양상만을 나타낸 것을 운동학 (Kinematics)라 부르고

힘으로인해 시스템에 어떠한 영향을 미치는지를 나타낸 것이 동역학 (Dynamics)라고 합니다.

자, 그럼 이제 운동학에 대해서 더 배워보겠습니다!

2) 운동의 종류

운동의 종류에 대해 설명하기 전에 전제 조건이 있어야합니다.

이제부터 소개 될 운동체들은 강체, 즉 Rigid Body 라는 것입니다.  

Rigid Body란, 외란에 대해 변형이 없는 이상적인 물체를 말하는 것입니다. 

물체는 어떻게 운동할까요? 

물체는 크게 두가지 방식으로 운동을 합니다. 

병진 운동, 회전 운동

(1) 병진 운동 (Translation)

병진 운동이란 아주 쉽게 생각하자면, 직선 운동이라고 할 수 있습니다.

물체를 이루고 있는 미소입자들의 운동궤적이 모두 동일할 때 병진 운동이라고 합니다.

다음 그림을 보시면 쉽게 이해가 가실거에요 

그림을 직접 그렸는데 너무 허접한가요...?ㅎㅎ

화살표가 나타내는 것이 운동 궤적이라고 했을때, 검은색 점들은 미소입자, 중간에 보이시는 표시는 무게중심입니다

병진 운동의 경우 물체의 위치, 속도, 가속도는 다음과 같이 성립합니다.

위치                                   

속도                       

가속도     

(2) 회전운동

회전운동은 모두들 아시다시피, 회전하는 운동입니다

회전의 축이 되는 부분의 미소입자들은 정지해있고, 

그것들을 제외한 미소입자들은 축을 따라 원형 궤적을 그리는 운동을 말합니다.

회전운동의 경우 회전 축의 각도, 각속도, 각가속도는 다음과 같이 성립합니다.

 각도                                    

각속도                       

각가속도     

회전 축은 위와 같이 나타낼 수 있습니다만, 그렇다면 축을 제외한 미소입자들의 운동은 어떻게 표현할 까요? 

다음 그림을 보며 설명하도록 하겠습니다.

그림에서 보이는 미소입자는 축으로부터 r만큼 떨어진 거리에서 회전운동을 하고 있습니다.

이 말은 즉 r만큼의 반지름을 갖고 있는 원이 회전을 하고 있다고 생각하면 됩니다. 

그리고 속도는 호의 길이 를 시간에 대해서 미분한 값 라고 쓸 수 있죠.

가속도는 다음 그림을 보며 설명하겠습니다.

원운동 가속도의 경우 tangential 방향과 normal 방향 두가지로 나눠서 봐야합니다.  

tangential 방향은 접선 방향을 말하며 방향벡터 라고 씁니다.

normal 방향은 회전 중심쪽을 가리키는 방향이며, 방향벡터 이라고 씁니다.

속도 를 엄밀히 말하자면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이때 미분을 해주면 다음과 같이 됩니다.

tangential 방향으로의 가속도를  , normal 방향으로의 가속도를 이라고 하면 다음과 같이 쓸 수 있겠네요

자, 이제 기초적인 초석은 모두 다졌습니다!

다음 포스팅에서 더 일반적인 운동에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.