[ 라플라스 변환 ] Laplace Transform

안녕하세요!

오늘은 라플라스 변환( Laplace Transform )에 대한 포스팅을 하려고 합니다.

순서는 다음과 같이 진행이 될거에요.

1) 선형성( Linearity )과 선형조합 (Linear Combination)

2) 적분변환과 사영

3) 라플라스 변환

시작하기 전에 한가지 당부 드릴 말씀은! 적분변환과 사영의 개념 설명이 다소 모호할 수 있다는 것입니다.

수학과가 아니다보니 수식에 입각한 정확한 설명은 어렵다는 점 양해 부탁드려요~

시작하겠습니다~!

1) 선형성( Linearity )과 선형조합 (Linear Combination)

라플라스 변환에 대해 이해하기 위해서는 선형성과 선형조합에 대한 개념을 알고 있어야합니다.

엄밀히 말하자면 기저(Basis) 라는 것을 이해하기 위함인데요.

이렇게 갑자기 선형대수학에서 배울법한 내용들이 등장해서 좀 당황스러울 수 있습니다. 하지만 걱정 마세요!

쉽게 개념만 짚고 넘어가도록 하겠습니다 ^^ 

(1) 선형성

제어 공학이 어려운 이유는 아마도 선형대수, 공학수학, 역학, 회로에 대한 지식들이 기초가 되기 때문일텐데요.

우선 선형성이라는 것이 무엇인지에 대해 말씀드리겠습니다.

위키백과를 통해 선형성을 검색해보면 다음과 같이 나옵니다.

위 두 조건을 성립할 때 함수 f는 선형이라고 합니다.

좀 더 쉽게 말해서, 어떤 시스템과 입력 , , , 출력 , ,  이 있다고 해볼까요?

어떤 시스템 System이 위와 같은 입력과 출력을 갖는다고 했을때, 아래의 두가지 조건을 충족한다면 선형이라고 합니다.

위의 조건에서 (1)을 Additivity, (2)를 Homogeneity라고 합니다. 이 두가지를 합쳐서 다음과 같이 쓸 수 있죠.

이 성질을 바로 Principle of Superposition이라고 부릅니다. 이제 누군가가 '선형적이라는게 뭐야?' 라고 물어본다면 당당하게 얘기하세요!

"Principle of Superposition을 만족하는 시스템을 선형적이라고 해!"

 

(2) 선형 조합 (Linear Combination)

선형조합은 일차결합 또는 선형결합이라고도 불리는데요, 

선형조합은 선형성을 띄는 시스템을 표현하는 방법이라고 생각하시면 됩니다.

각각 독립되어 있는 벡터들이 스칼라배와 벡터 덧셈을 통해 새로운 벡터를 얻는 연산입니다.

시스템에 가해지는 힘을 라고 해봅시다. 또한 는 방향으로 2N의 힘, 방향으로 3N의 힘을 띄고있다고 해보죠.

그러면 다음과 같이 를 표현할 수 있습니다.

이 개념이 선형 조합입니다. 굉장히 간단하죠? 

위 식에서 볼 수 있듯이 방향의 힘과 방향의 힘은 독립되어 있는 것으로 간주하고 쓰여졌다는 것을 알 수 있습니다. 실제로도 그렇구요.

자 그럼 이제 주파수에 대해서 얘기 해볼까요?

주파수에 대한 표현을 할 때도 선형성과 선형조합이 적용됩니다. 예를들면, 

위와 같이 정현파 입력이 들어가는 경우 주파수 로 기저가 형성된다는 것을 볼 수 있습니다.

벡터 공간을 표현하기 위해 최소로 필요로 되어지는 독립된 벡터들을 말합니다.

위의 입력 를 갖는 시스템과 출력을 쉽게 그림으로 표현하면 다음과 같이 됩니다.

2) 적분변환과 사영

위 꼴을 적분 변환이라고 부릅니다. 이 식에서 T는 변환을 나타내기 위한 것입니다. 라플라스 변환을 예로 들자면 

와 같은 역할을 한다고 보시면 됩니다. 는 변환의 대상이 되는 함수라고 보시면 되구요. 는 변환 후의 함수라고 보시면 됩니다.

그렇다면, 는 무엇인가!? 바로 커널함수라고 불리는 녀석입니다. (머신러닝에도 커널함수가 나오지요...^^)

의 역할은 의 영역에서 표현된 함수 를 의 영역으로 사영시켜주는 역할을 합니다. 엄밀히 말하자면 사영을 위해 영역 

에서의 정적분이 빠지면 안되지요. 

중요한 사실은 바로 적분변환은 특정 좌표계로 사영을 시켜준다는 것입니다.

사영이라는 것은 예를들어, [1,0], [0, 1]을 기저로 가지는 좌표계에 표현되어있는 벡터를 [1, 1], [0, 1]을 기저로 갖는 좌표계에 투영한다는 말입니다. 

여기서, 의 역할은 사영될 좌표계의 기저를 말해주는 함수라고 할 수 있죠. 

자, 그럼 이제 드디어 라플라스 변환에 대해 설명해보겠습니다!

3) 라플라스 변환

라플라스 변환의 정의입니다. 적분변환의 형태를 띄고 있구요.

t는 보통 시간을 나타냅니다. s는 복소수를 말합니다.  다시 쓰자면, 이죠.

위에 보이시는 라플라스 변환식에서의 커널함수는 입니다. 라플라스변환의 목적이 무엇인지 느낌이 오나요? 

바로 시간 영역에서 표현되었던 함수 를 복소수 영역으로 사영하기 위함입니다.  

복소수 영역에선 주파수의 표현이 용이하기 때문이죠.

자, 를 그 유명한 오일러 공식을 통해 삼각함수로 나타내면,

진동 성분인 가 숨어있는 것을 확인할 수 있습니다. 

따라서, 진동의 성격을 갖는 허수부와, 증가 감소를 나타내는 실수부를 기저로하는 좌표계로 사영하기 위함입니다.

이제 어느정도 감을 잡으셨다면, 공학을 하는 우리들에게 필요한 것은 사용 방법을 익히는 것입니다 ㅎㅎ

라플라스 변환을 할 때마다 변환식을 풀어서 (곱하고 적분하고 또 미분하기도 하고....) 사용하기엔 너무 번거롭습니다.

그래서!! 훌륭한 선대 학자분들이 라플라스 변환 표를 만들어 주셨어요 

위 표를 보며, 라플라스 변환을 하면 되겠습니다~~~

이상 포스팅을 마치도록 하겠습니다! 

p.s) 푸리에 변환도 마찬가지입니다. 대신 복소수 영역에 나타내는 것이 아니라 주파수 영역에만 나타내는 것이죠!