안녕하세요
오늘은 로봇공학을 포함한 모든 공학에서 공통적으로 필요로 되는 선형대수학에 대해서 포스팅하려합니다.
그 첫번째 포스팅으로 기저와 기저변환, 그리고 선형변환까지 소개해드리려합니다.
포스팅 시작하겠습니다!!
1) 기저
기저란, 영어로 Basis라고 불립니다.
느낌적으로 기본이라는 뜻의 Base와 비슷하다고 생각되지 않나요?
기저란, 벡터공간 V가 있다고 했을때, 이 벡터공간을 표현할 수 있는 최소한의 벡터들을 말합니다.
예를 들어, x,y 평면의 기저는 
그리고 xy평면상의 한 벡터는 기저들의 일차결합으로 표현이 가능하죠.
우리가 흔히 말하는 '차원' 이라는 것은 기저 벡터의 수를 의미합니다.
1차원 공간이라함은 선을 말합니다. 하나의 기저로 만들어진 벡터 공간이죠.
3차원 공간이라함은 밑변과 높이, 즉 부피를 가지고있는 공간을 말하고, x방향, y방향, z방향 세개의 기저로 이루어진 벡터 공간입니다.
로봇공학에서 로봇의 motion 및 dynamics를 분석하고 제어할땐, 때때로 그 기저가 각 조인트의 각도가 되기도합니다.
각 조인트의 각도로 어떠한 벡터공간을 구성하기 때문이죠.
2) 기저 변환
기저 변환에 대한 설명을 드리기 전에,
순서기저라는 개념을 하나 익혀두고 가겠습니다.
예를들어, xy평면상에 벡터 
이라고 나타낼 수 있고, 좌표는 {2, 3}이 됩니다.
위의 경우, xy평면의 기저를
만약 xy평면의 기저를 
즉, 기저들이 동일하더라도 기저의 순서를 바꾸게 된다면 좌표의 표현 결과가 다르게 나타나죠.
이러한 문제점들을 없애기 위해서 '순서기저'라는 개념을 도입합니다.
'벡터공간 V를 생성하는 기저들의 한 고정된 수열' 이것이 순서기저의 정의입니다.
이제 다시 기저변환에 대한 이야기로 돌아오겠습니다.
이번엔 단순히 순서가 바뀐게 아니라 다음과 같이 기저가 변경될 때를 보겠습니다.
그림을 보실까요?
위 그림처럼, 같은 공간을 구성하는 기저라도 벡터공간상의 좌표의 표현은 달라지게 됩니다.
이렇게 기저가 바뀌게 된다면, 기존 좌표를 어떻게 표현할 수 있을까요?
구체적인 예를들어서 설명해보겠습니다.
다음과 같은 기저를 갖는 벡터 공간이 있다고 해볼까요?
이 기저들로 벡터공간 상의 좌표 v를 표현했을때 { 3, -2 }라는 좌표로 나타낼 수 있다고하면, 다음과 같이 씁니다.
이제 저 좌표를 다른 기저 C로 표현하려 합니다.
새로운 순서기저 C를 다음과 같이 정의하겠습니다.
우리가 원하는 것은 C기저에서 표현된 v의 좌표
우선 벡터 v는 기저 B로 다음과 같이 나타냈었습니다.
벡터 v를 기저 C에서 표현하기 위해서는,
빨갛게 표시된 부분을 C기저로 나타내기만 하면됩니다.
즉, 다음과 같아지면 되겠죠.
이제 뭘 해야할지 아시겠죠? a1, a2, b1, b2를 구해주면 되겠죠??
a1 = 2
a2 = 3
b1 = 0
b2 = -1
그러므로 C기저에서 나타낸 벡터 v의 좌표는 다음과 같습니다!!
이 일련의 과정을 좀더 간단(?)하게 푸는 방법이 있습니다.
바로 '추이행렬(transition matrix)'을 구해서 푸는 방법인데요.
추이행렬이란, 기저변환을 시켜주는 행렬이라고 생각하시면 됩니다.
즉, 기저 B에서 기저 C로 변환하는 행렬을 찾고 시작하면 됩니다.
추이행렬을 구하는 방법은 이미 위의 풀이 과정에서 진행했었습니다 ㅎㅎ
이 행위를 통해서 a1, a2, b1, b2를 구해주고 
추이행렬을 구했다면, 다음과 같이 진행하면 위의 답을 곧바로 구할 수 있습니다.
로봇공학에 회전행렬이라는 것이 있죠? ( ROBOTICS 포스팅에 자세히 나와있습니다. )
바로 추이행렬과 같은 개념입니다.
한 축에 의해서 좌표계가 회전한 경우 좌표도 달라지게 되는데
이때 새로운 좌표계로 나타내기 위해서 회전행렬을 쓰게 되죠,
회전행렬이란? 추이행렬입니다!
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